An optimization-based multiscale coupling method

An optimization based algorithm is proposed for solving elliptic problems with highly oscillatory coefficients that do not exhibit scale separation in a subregion of the physical domain. The given method, written as a constrained minimization problem couples a numerical homogenization method in the subregion of the physical domain with scale separation with a fine scale solver in subregions without scale separation. The unknown boundary conditions of both problems in the overlap region are determined by minimizing the discrepancy of the corresponding solutions in this overlap. Un algorithme basé sur le principe d’optimisation est proposé pour résoudre des problèmes elliptiques à coefficients oscillants sans séparation d’échelles dans une région du domaine. La méthode, qui s’écrit comme un problème de minimisation sous contraintes, couple une méthode d’homogénéisation numérique dans la région avec séparation d’échelles avec une méthode ravec discrétisation fine dans les régions sans séparation d’échelles. Les conditions au bord des deux problèmes sur l’intersection des deux domaines sont déterminées par la minimisation de la différence entre les deux solutions dans le domain commun. Version française abrégée Dans ce papier, nous présentons une méthode basée sur le principe d’optimisation inspirée de travaux récents [OBL13] sur un couplage atomistique-à-continu. Considérons le problème elliptique (1) avec a ∈ (L∞(Ω))d×d un tenseur oscillant, symmétrique, borné et uniformément elliptique. L’homogénéisation classique [BLP78, JKO94] nous permet d’obtenir une solution effective u d’un problème similaire à (1) avec un tenseur homogénéisé a au lieu de a. Un grand nombre de méthodes d’homogénéisation numérique ont été développées ces dernières années (voir les références de [Abd09]) afin d’approximer u à un coût indépendant de l’échelle la plus fine. Cependant, les coefficients du tenseur doivent être localement périodiques ou avoir une séparation d’échelles. Nous nous intéressons à un problème où l’homogénéisation numérique ne peut pas être appliquée dans l’ensemble du domaine et doit être couplée avec une méthode capable de résoudre la plus fine échelle. Des problèmes de ce type ont déjà été traités dans la littérature Email addresses: [email protected] (Assyr Abdulle), [email protected] (Orane Jecker). URLs: http://anmc.epfl.ch/abdulle.html (Assyr Abdulle), http://anmc.epfl.ch/jecker.html (Orane Jecker). avec l’approche dite globale-à-locale, dans laquelle les conditions aux bords des régions à échelles fines sont données par la solution homogénéisée [OdV00]. Nous mentionnons aussi la méthode récente [BaL11] basée sur des projections L de la solution homogénéisée sur des espaces créés par des solutions de problèmes locaux. Finalement, nous rappelons que notre approche est basée sur les travaux effectués sur le couplage entre atomistique et continu [OBL13]. Soit ω b Ω, une région où l’homogénéisation ne s’applique pas, nous proposons de résoudre deux problèmes sur ω et ω2 = Ω \ ω. Afin d’assurer continuité des solutions sur ω et ω2, dénotées respectivement u1 et u2, nous construisons une région de chevauchement ω0 entre ω et ω2 et introduisons des contrôles virtuels sur le bord de ω0. Le couplage se fait via la minimisation de u1 − u2 sur ω0 et nous obtenons un problème d’optimisation sous les contraintes (2) et (3) qui est résolu via multiplicateurs de Lagrange afin de déterminer les solutions ”optimales” sur ω ∪ ω0 et ω2.